< TRIGONOMETRÍA
Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo para efectuar medidas en agricultura y para construir pirámides, como así también en astronomía para la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y el cálculo del tiempo y los calendarios. Nació así la Trigonometría.
La ola marina más alta registrada oficialmente fue medida a bordo del barco estadounidense “Ramapo”, durante la noche del 6 al 7 de febrero de l993. Utilizando cálculos trigonométricos, el teniente Margraff pudo averiguar que la ola tenía, hasta la cresta, una altura aproximada de 34 metros .
La palabra trigonometría es de origen griego y proviene de los vocablos tri (tres), gono (ángulo) y metría (medida). Se cree que, como ciencia, nació con Hiparco (Siglo II A.c.).
La trigonometría se ocupa de relacionar las medidas de los lados de un triángulo con sus ángulos. Es de gran utilidad cuando se trata de medir longitudes inaccesibles al ser humano, como lo son, por ejemplo, la altura de montañas, torres y árboles, o la anchura de ríos, pantanos y lagos.
Este año aprenderemos algunas técnicas necesarias para resolver situaciones problemáticas con triángulos.
ÁNGULO EN EL PLANO-ARCO ORIENTADO.
Un ángulo está generado por una semirrecta or que gira alrededor de un punto fijo O, desde la posición inicial or hasta la posición final or¨. (Ver Fig.1)
Si la rotación es en sentido antihorario (contrario a las agujas del reloj), el ángulo generado es positivo. Si la rotación es en sentido horario el ángulo generado es negativo. (Ver Fig.2)
Consideremos ahora, la circunferencia con centro en el origen C del ángulo y de radio R. La intersección de la circunferencia con el ángulo, es el arco AB (Ver Fig. 3)
Al atribuir al ángulo un sentido se expresa que el ángulo “está orientado”. Y el arco correspondiente a ese ángulo, también “está orientado” en el mismo sentido.
Si el ángulo de la figura 2 se origina a partir de la semirrecta or, se dice que esta semirrecta es el “lado origen” o simplemente, “el origen” del ángulo. En cuanto a la semirrecta or’, es el “lado término” o simplemente, el “término” del ángulo.
Análogamente, el punto A es el “punto origen” del arco AB, y B, el “punto término” del arco.
Y de un ángulo, se dice que está orientado con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares si y sólo si el lado origen del ángulo coincide con el semieje positivo, ox, del eje de las absisas. (Ver Fig. 4)
Fig.4
Si el lado término del ángulo cae dentro del primer cuadrante, decimos que es un ángulo que pertenece al primer cuadrante, si cae en el segundo cuadrante, el ángulo pertenece al segundo cuadrante. Si cae en el tercer cuadrante, el ángulo pertenece al tercer cuadrante y si cae en el cuarto cuadrante, el ángulo pertenece al cuarto cuadrante. (Ver Fig.5)
SISTEMAS PARA MEDIR ÁNGULOS ♣
Estudiaremos sólo tres: el sistema sexagesimal, el centesimal y el circular o radial.
SISTEMA SEXAGESIMAL ☺
Si a una circunferencia se la divide en 360 partes iguales, cada parte recibe el nombre de “ángulo de un grado sexagesimal”. En símbolos:
Circunferencia/ 360 = 1˚
Ahora bien, para una mejor medición de los ángulos, se divide al ángulo de un grado en 60 partes iguales: cada una de ellas se llama “minuto”. Y el ángulo de un minuto se divide en 60 partes iguales: cada una de ellas recibe el nombre de “segundo”.
En símbolos:
1° /60 = 1´ → 1° = 60´
1´/60 = 1˝ → 1´ = 60˝
SISTEMA CENTESIMAL ☺
Si a una circunferencia, se la divide en 400 partes iguales, obtenemos un ángulo de un grado centesimal. En símbolos:
Circunferencia/400 = 1 G
Ahora bien, para una mejor medición de los ángulos, se divide al ángulo de 1 grado centesimal, en 100 partes iguales: cada una de ellas recibe el nombre de “minuto centesimal” y su notación es 1 M .Y el minuto centesimal se divide en l00 partes iguales, cada una de las cuales recibe el nombre de “segundo centesimal” y su notación es 1 S .
En símbolos:
1G /100= 1 M → 1G = 100 M
SISTEMA CIRCULAR O RADIAL
Aquí se utiliza como unidad para medir ángulos, el radián, que es un ángulo que abarca entre sus lados un arco de circunferencia, con centro en su vértice, de longitud igual al radio de esa circunferencia. (Ver Fig.6).
En el sistema circular, la medida de una circunferencia es 2π radianes.
1 radián = 360º/2.π.R = 360º/6,283185307 = 57,29577951º = 57º 17´ 44,8"
Siendo;
π = 3,141592654
R = 1
Equivalencia entre los tres sistemas
Se resume en el siguiente cuadro:
circunferencia | Sist.sexagesimal | Sist.centesimal | Sist.circular |
Una circunferencia | 360° | 400 | 2π rad. |
Media Circunferencia | 180° | 200 | π rad. |
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
Definición: “La circunferencia es trigonométrica si y sólo si su centro es el punto origen del sistema de coordenadas cartesianas, su radio igual a 1, siendo el punto origen de los arcos el punto de intersección de esa circunferencia con el semieje positivo del eje de las absisas” (Ver Fig. 7)
Fig.7
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Dibujemos un ángulo que pertenezca al primer cuadrante, dentro de una circunferencia trigonométrica. Llamemos P al punto que es intersección del lado término del ángulo con la circunferencia. Por P, trazamos una perpendicular al eje de las absisas, hasta hallar el punto B.
El segmento determinado por 0 y P, OP se designa con la letra ρ (rho) y se denomina “radio vector”. Por convención, se atribuye a ese segmento el signo +.
El segmento PB se designa con la letra y, llamada ordenada.
El segmento OB, se designa con la letra x, llamada absisa. (Ver Fig, 8)
Fig. 8
a) Seno de un ángulo: es el cociente entre la ordenada y el radio vector.
b) Coseno de un ángulo: es el cociente entre la absisa y el radio vector.
c) Tangente de un ángulo: es el cociente entre la ordenada y la absisa.
d) Cotangente de un ángulo: es el cociente entre la absisa y la ordenada.
e) Secante de un ángulo: es el cociente entre el radio vector y la absisa.
f) Cosecante de un ángulo: es el cociente entre el radio vector y la ordenada.
En resumen:
Sen α = y/ρ | Cosec α = ρ/y |
Cos α = x/ρ | Sec α = ρ/x |
Tg α = y/x | Cotg α = x/y |
En todas estas fórmulas, x,y y ρ son, respectivamente, absisa, ordenada y radio vector de un punto cualquiera ubicado sobre el término del ángulo α , orientado con respecto al sistema de coordenadas cartesianas rectangulares.
Por otra parte, las fórmulas que se mencionan en el cuadro superior, son válidas para los ángulos generados en sentido positivo y negativo y para ángulos mayores que un giro.
SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Si tenemos en cuenta que un ángulo puede pertenecer al IC, IIC ,IIIC ó IVC, veremos que x e y cambian de signo, según al cuadrante que pertenece el ángulo.
Para ello, te dejo como ejercicio, que deduzcas los signos de las seis funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes.
VARIACIÓN DEL SENO Y DEL COSENO AL VARIAR EL ÁNGULO
Al variar el ángulo, aumentando desde 0° hasta 90°, aumenta el seno mientras que el coseno disminuye. Se observa que los máximos que alcanzan el seno y el coseno con iguales a 1, y los mínimos iguales a -1.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO
Dibuja una circunferencia trigonométrica, y luego procede a dividirla en ángulos de 30°. Procede a tomar las medidas de la ordenada y llévalas sobre los ejes coordenados.
Vemos que el valor máximo de la función seno es +1 y el mínimo -1, pudiendo tomar todos los valores intermedios. La curva que se obtiene se llama SINUSOIDE. Esta curva es CONTINUA, porque no se corta y es PERIÓDICA (porque se repite) CADA 360°.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO
Procede de igual manera que en el caso anterior, pero esta vez tomando las medidas de la absisa x.
Vemos que el valor máximo de la función coseno es +1 y el mínimo -1, pudiendo tomar todos los valores intermedios. La curva que se obtiene se llama COSINUSOIDE. Esta curva es CONTINUA, porque no se corta y es PERIÓDICA, cada 360°.
PITÁGORAS
APLICACIÓN A TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Los lados de un triángulo rectángulo reciben los siguientes nombres: hipotenusa, cateto opuesto y cateto adyacente. La ubicación de los catetos, depende del ángulo interior que señalemos. (Ver Fig. 9)
Fig.9
Ejercicio:
Escribe las seis funciones trigonométricas, teniendo en cuenta el nombre de los lados del triángulo rectángulo.
Teorema de Pitágoras
Definición: “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”
En símbolos:
A partir de este teorema, y de las seis funciones trigonométricas aplicadas a un triángulo rectángulo, es posible resolver problemas relacionando los lados y ángulos del mismo.
POLÍGONOS REGULARES
DEFINICIÓN
Los polígonos son figuras planas y cerradas limitadas por segmentos. Si el polígono es regular, todos sus lados tienen la misma longitud y todos sus ángulos la misma amplitud.
Partes de un polígono regular
Clasificación de los polígonos regulares
Fórmulas para calcular perímetro y área de polígonos regulares
ángulo= 360º/(2xnºlados)
Perímetro= lado x nº de lados
Área= (perímetro x apotema)/ 2
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Teorema del seno.
Teorema del coseno.
Teorema de las Tangentes
p=(a+b+c)/2
Completar con las fórmulas que faltan...
¿Nos tomamos un recreo?
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La Unidad referida a Expresiones Algebraicas la estudiaremos ingresando aquí.
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